ARC096E Everything on It

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Description

https://www.luogu.com.cn/problem/AT_arc096_c

Solution

推了半天一个东西，才发现那个叫第二类斯特林数。

条件不好处理。考虑容斥。

令我们钦定选 $i$ 个不超过 $1$ 的方案数为 $g_i$，恰好选 $i$ 个不超过 $1$ 的方案数。根据二项式反演，有 $f_0=\sum (-1)^j g_j\dbinom{j}{0}=\sum (-1)^j g_j$。

考虑计算 $g_i$。首先其他集合的方案数为 $2^{2^{n-i}}$。选 $t$ 个恰好为 $1$，分成 $j$ 个互不相交的集合的方案数为 $\sum \begin{Bmatrix}t\ j\end{Bmatrix}\dbinom{i}{t}=\begin{Bmatrix}i+1\ j+1\end{Bmatrix}$。等式可以理解为添加一个数 $0$，和 $0$ 在一起的当作不选的。最后因为已经保证集合不同，所以直接乘上 $(2^{n-i})^j$ 来算这 $j$ 个集合。

复杂度 $O(n^2)$。

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 3005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename T>
#define Ts template<typename T,typename... Ar>
using namespace std;
Tp void read(T &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,T t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,T x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
int n,mod;
int ans;
int s[maxn][maxn],c[maxn][maxn];
int power(int x,int y=mod-2,int p=mod) {
	int sum=1;
	while (y) {
		if (y&1) sum=sum*x%p;
		x=x*x%p;y>>=1;
	}
	return sum;
}
void add(int &x,int y) {x=(x+y)%mod;}
signed main(void){
	int i,j;
	read(n);read(mod);
	s[0][0]=1;
	for (i=0;i<=n+1;i++) {
		c[i][0]=1;
		for (j=1;j<=i;j++) {
			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
			s[i][j]=(s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*j)%mod;
		}
	}
	for (i=0;i<=n;i++) {
		int res=power(2,power(2,n-i,mod-1))*c[n][i]%mod;
		int sum=0,buf=1,tmp=power(2,n-i);
		for (j=0;j<=i;j++) {
			add(sum,s[i+1][j+1]*buf);
			// gdb(i,j,s[i+1][j+1],buf);
			buf=buf*tmp%mod;
		}
		res=res*sum%mod;
		// gdb(i,res,sum);
		if (i&1) add(ans,mod-res);
		else add(ans,res);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}
//i=begin && g++ $i.cpp -o $i -std=c++14 && ./$i