P6775 [NOI2020] 制作菜品

, ,

Description

https://www.luogu.com.cn/problem/P6775

总结

先总结一下为什么一点没思路。

没看到关键的数据范围，不然起码 $m=n-1$ 能想出来。

看数据范围！！！OI 原题还要注意特殊性质的性质！！！

Solution

如上面所说，先考虑 $m=n-1$。

不妨先把 $d$ 升序排个序。

显然 $n=2$ 时有解。

观察到 $d_1<k,d_1+d_n\ge k$，每次把 $d_1$ 和 $d_n$ 组合在一起，把 $d_1$ 清空即可。这样相当于 $n\gets n-1,m\gets m-1$。转化为了$n=n-1$ 时候的问题。所以 $m=n-1$ 一定有解。

然后看 $m\ge n$，显然又有 $d_n\ge k$，每次把 $d_n\gets d_n-k$ 即可，减到 $m=n-1$ 即可，就转化为了上面的问题。

然后 $m=n-2$ 的时候，很自然的想到拆成两个 $m=n-1$。

我们再上面已经证明了，如果 $m=n-1,\sum d=mk$ 则一定有解。考虑划分成两个集合，使得其中一个满足 $\sum_{i\in S} d_i=(|S|-1)k$，这样另一个也一定满足。

移项有 $\sum (d_i-k)=-k$，这样做 01 背包即可。

然后取值都是 01，bitset 优化有复杂度 $O(\dfrac{n^2k}{w})$，此时由于 $m=n-2$，$n,m$ 同阶。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 505
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename T>
#define Ts template<typename T,typename... Ar>
using namespace std;
Tp void read(T &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,T t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,T x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=1e9+7;
int power(int x,int y=mod-2) {
	int sum=1;
	while (y) {
		if (y&1) sum=sum*x%mod;
		x=x*x%mod;y>>=1;
	}
	return sum;
}
int n,m,k;
struct yyy {
    int id,x;
    bool operator <(const yyy tmp) const {
        return x<tmp.x;
    }
}a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn];
int tot1=0,tot2=0;
bool cmp(yyy x,yyy y) {return x.x<y.x;}
bitset<5000005> f[505];
const int base=2.5e6;
void insert(int n) {
    int i,tot=0,fl=0;
    for (i=1;i<n;i++) {
        if (!fl&&a[n].x>a[i-1].x&&a[n].x<=a[i].x) b[++tot]=a[n],fl=1;
        b[++tot]=a[i]; 
    } 
    if (!fl) b[++tot]=a[n]; 
    for (i=1;i<=n;i++) a[i]=b[i];
}
void calc(void) {
    int i;
    while (m&&n) {
        printf("%d %d %d %d\n",a[1].id,a[1].x,a[n].id,k-a[1].x);
        a[n].x-=(k-a[1].x);
        for (i=1;i<n;i++) a[i]=a[i+1];
        n--;
        if (a[n].x) insert(n);
        else n--;
        m--;
    }
}//m=n-1
void solve(void) {
    int i,j,tot1,tot2;
    read(n);read(m);read(k);
    for (i=1;i<=n;i++) read(a[i].x),a[i].id=i;
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    while (m>=n&&n) {
        printf("%d %d\n",a[n].id,k);
        a[n].x-=k;
        if (a[n].x) insert(n);
        else n--;
        m--;
    }
    if (!n) return ;
    if (m==n-1) return calc(),void();

    f[0].reset();
    f[0][base]=1;
    for (i=1;i<=n;i++) a[i].x-=k;
    for (i=1;i<=n;i++) {
        f[i]=f[i-1];
        if (a[i].x>=0) f[i]|=f[i-1]<<a[i].x;
        else f[i]|=f[i-1]>>(-a[i].x); 
    }
    if (f[n][base-k]==0) return puts("-1"),void();
    i=n,j=base-k,tot1=0,tot2=0;
    while (i) {
        if (f[i-1][j-a[i].x]) c[++tot1]=a[i],j-=a[i].x,i--;
        else d[++tot2]=a[i],i--;
    }
    n=tot1;m=tot1-1;
    reverse(c+1,c+1+tot1);
    for (i=1;i<=n;i++) a[i]=c[i],a[i].x+=k;
    calc();
    n=tot2;m=tot2-1;
    reverse(d+1,d+1+tot2);
    for (i=1;i<=n;i++) a[i]=d[i],a[i].x+=k;
    calc();
}
signed main(void){
	int T;
    read(T);
    while (T--) solve();
	return 0;
}
//i=begin && g++ $i.cpp -o $i -std=c++14 && ./$i