Bzoj1098 [POI2007] BIU-Offices

Description

https://www.luogu.com.cn/problem/P3452

Solution

题目本质上就是求补图的连通块的个数和数目。

先讲一下我的优化建边的暴力。

观察到对于一个点 $x$，给除了边 $(x,y)$ 的点连边，转化为许多区间。考虑 ST 表优化建边，如果这个没有遍历过，则向左右两个区间连边；反之直接与这个区间合并。

这样点数是 $O(n\log n)$ 的，边数是 $O(m)$ 的，只不过转化为区间的过程需要排序。如果用基数排序的话可以做到 $O(n\log n+m)$，像我一样暴力排序就只能 $O(n\log n+m\log m)$，感觉有点劣啊。/kk

---

考虑从搜索的角度优化。

维护一个链表记录没有遍历过的点，和待搜索的队列，从队首取出一个数 $x$，考虑直接遍历整个链表，如果这个点不与没有被遍历过，则入队并在链表中删除。

容易发现，每个点在删除之前最多只会遍历这个点的度数次。总复杂度是 $O(n+m)$ 的，感觉有点厉害。

$O(n+m)$：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 100005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename T>
#define Ts template<typename T,typename... Ar>
using namespace std;
Tp void read(T &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,T t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,T x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=1e9+7;
int power(int x,int y=mod-2) {
	int sum=1;
	while (y) {
		if (y&1) sum=sum*x%mod;
		x=x*x%mod;y>>=1;
	}
	return sum;
}
int n,m;
vector<int>to[maxn],Ans;
int nex[maxn],pre[maxn],vis[maxn],fl[maxn];
void del(int x) {
	vis[x]=1;
	nex[pre[x]]=nex[x];
	pre[nex[x]]=pre[x];
}
queue<int>q;
void bfs(int x) {
	int i,j,nums=0;
	q.push(x);del(x),vis[x]=1;
	while (!q.empty()) {
		x=q.front();q.pop();nums++;
		for (auto y:to[x]) fl[y]=1;
		int now=nex[0];
		while (now<=n) {
			if (!fl[now]) q.push(now),del(now);
			now=nex[now];
		} 
		for (auto y:to[x]) fl[y]=0;
	}
	Ans.push_back(nums);
}
signed main(void){
	int i,x,y;
	read(n);read(m);
	for (i=1;i<=m;i++) {
		read(x),read(y);
		to[x].push_back(y);
		to[y].push_back(x);
	}
	nex[0]=1;
	for (i=1;i<=n;i++) nex[i]=i+1,pre[i]=i-1;
	for (i=1;i<=n;i++) if (!vis[i]) {
		bfs(i);
	}
	printf("%d\n",(int)Ans.size());
	sort(Ans.begin(),Ans.end());
	for (auto y:Ans) printf("%d ",y);put();
	return 0;
}
//i=begin && g++ $i.cpp -o $i -std=c++14 && ./$i

$O((n+m)\log m)$：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 100005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename T>
#define Ts template<typename T,typename... Ar>
using namespace std;
Tp void read(T &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,T t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,T x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=1e9+7;
int power(int x,int y=mod-2) {
	int sum=1;
	while (y) {
		if (y&1) sum=sum*x%mod;
		x=x*x%mod;y>>=1;
	}
	return sum;
}
int n,m,cnt;
int f[maxn][20],lg[maxn],t[maxn*20],fa[maxn*20];
vector<int>O[maxn],Ans;
int getfa(int x) {return x==fa[x]?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
void dfs(int id,int i,int j) {
	if (f[i][j]) return fa[getfa(f[i][j])]=getfa(id),void();
	f[i][j]=++cnt;fa[cnt]=cnt;
	dfs(f[i][j],i,j-1);
	dfs(f[i][j],i+(1<<j-1),j-1);
	fa[getfa(f[i][j])]=getfa(id);
}
void merge(int id,int l,int r) {
	int z=lg[r-l+1];
	dfs(id,l,z);
	dfs(id,r-(1<<z)+1,z);
}
signed main(void){
	int i,x,y;
	read(n);read(m);
	for (i=1;i<=m;i++) {
		read(x),read(y);
		O[x].push_back(y);
		O[y].push_back(x);
	}
	cnt=n;
	for (i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i/2]+1;
	for (i=1;i<=n;i++) {
		O[i].push_back(i);
		fa[i]=i;f[i][0]=i;
		sort(O[i].begin(),O[i].end());
	}
	for (i=1;i<=n;i++) {
		int las=0;
		for (auto tmp:O[i]) {
			if (las<tmp-1) merge(i,las+1,tmp-1);
			las=tmp; 
		}
		if (las<n) merge(i,las+1,n);
	}
	for (i=1;i<=n;i++) t[getfa(i)]++;
	for (i=1;i<=cnt;i++) if (t[i]) Ans.push_back(t[i]);
	sort(Ans.begin(),Ans.end());
	printf("%d\n",(int)Ans.size());
	for (auto y:Ans) printf("%d ",y);put();	
	return 0;
}
//i=begin && g++ $i.cpp -o $i -std=c++14 && ./$i