CF1696F Tree Recovery

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学习构造。

这题完全没有思路。高情商就是没和出题人对上脑电波。

记 $a_{i,j,k}=1$ 表示 $dis(i,j)=dis(j,k)$。否则不等于。

考虑构造的经典解法先考虑特殊解法或者特殊情况。观察到如果我有一条边 $(x,y)$，那么 $dis(x,y)=1$，而如果出现 $a_{x,y,z}=1$，则说明同样存在一条边 $(y,z)$。容易发现如果存在解，则一定可以扩展到一棵树。我们要做的是 $O(n^3)$ 来判断解的合法性。

而这个做法的前提是找到一条边。我们只需要枚举与某一个相连的边即可。复杂度 $O(n^4)$。

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#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 105
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename T>
#define Ts template<typename T,typename... Ar>
using namespace std;
Tp void read(T &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,T t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,T x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=1e9+7;
int power(int x,int y=mod-2) {
	int sum=1;
	while (y) {
		if (y&1) sum=sum*x%mod;
		x=x*x%mod;y>>=1;
	}
	return sum;
}
int n;
int a[maxn][maxn][maxn];
int tot,vis[maxn];
pair<int,int>e[maxn];
vector<int>to[maxn];
void dfs(int x,int pre) {
	vis[x]=1;int i;
	for (i=1;i<=n;i++) 
		if (a[i][x][pre]==1&&!vis[i]) e[++tot]=mk(i,x),dfs(i,x);
}
int dis[maxn][maxn];
void dfs2(int x,int pre,int rt) {
	for (auto y:to[x]) if (y^pre) {
		dis[rt][y]=dis[rt][x]+1;
		dfs2(y,x,rt);
	}
}
bool check(void) {
	if (tot!=n-1) return 0;
	int i,j,k;
	for (i=1;i<=n;i++) to[i].clear();
	for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=n;j++) dis[i][j]=0;
	for (i=1;i<n;i++) to[e[i].fi].push_back(e[i].se),to[e[i].se].push_back(e[i].fi);
	for (i=1;i<=n;i++) {
		dfs2(i,0,i);
	}
	for (i=1;i<=n;i++) 
		for (j=1;j<=n;j++) 
			for (k=1;k<=n;k++) {
				if (a[i][j][k]!=(dis[i][j]==dis[j][k])) return 0;
			}
	return 1;
}
void solve(void) {
	int i,j,k;char ch;
	read(n);
	for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=n;j++) for (k=1;k<=n;k++) a[i][j][k]=1;
	for (i=1;i<=n;i++) {
		for (j=1;j<=n-i;j++) {
			cin>>ch;
			for (k=1;k<=n;k++,ch=getchar())
				a[i][k][i+j]=a[i+j][k][i]=(ch=='1');
		}
	}
	int fl=0;
	for (i=2;i<=n;i++) {
		for (j=1;j<=n;j++) vis[j]=0;
		tot=0;
		e[++tot]=mk(1,i);
		vis[i]=vis[1]=1;
		dfs(1,i);
		dfs(i,1);
		if (check()) {fl=1;break;}
	}
	if (fl) {
		puts("Yes");
		for (i=1;i<n;i++) printf("%d %d\n",e[i].fi,e[i].se);
	}
	else puts("No");
}
signed main(void){
	int T;
	read(T);
	while (T--) solve();
	return 0;
}