CF1548C the Three Little Pigs

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Description

给定 $1\le n\le 10^6$，$q$ 次询问，每次求 $\sum\limits_{i\le n} \dbinom{3i}{x}$。

Solution1

对模三的余数递推。

令 $f_{i,j}=\sum\limits_{3k+i< 3n} \dbinom{3k+j}{i}$，答案就是 $f_{x,0}+\dbinom{3n}{x}$。

考虑 $i$ 从小到大转移，有：

  • $f_{i,1}=f_{i,0}+f_{i-1,0}$。
  • $f_{i,2}=f_{i,1}+f_{i,2}$。
  • $f_{i,0}+f_{i,1}+f_{i,2}=\dbinom{3n}{i+1}$。

然后解出来就好，复杂度 $O(n)$。

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 3000005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename T>
#define Ts template<typename T,typename... Ar>
using namespace std;
Tp void read(T &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,T t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,T x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=1e9+7;
int power(int x,int y=mod-2) {
	int sum=1;
	while (y) {
		if (y&1) sum=sum*x%mod;
		x=x*x%mod;y>>=1;
	}
	return sum;
}
int n,m;
int suf[maxn],isuf[maxn];
int f[maxn][3];	
int C(int x,int y) {return suf[x]*isuf[y]%mod*isuf[x-y]%mod;}
signed main(void){
//	freopen("1.in","r",stdin);
	int i,j,x;
	read(n);read(m);
	int N=3*n+3;
	int inv3=power(3);
	for (suf[0]=1,i=1;i<=N;i++) suf[i]=suf[i-1]*i%mod;
	for (isuf[N]=power(suf[N]),i=N;i>=1;i--) isuf[i-1]=isuf[i]*i%mod;
	f[0][0]=f[0][1]=f[0][2]=n;
	for (i=1;i<=3*n;i++) {
		f[i][0]=(C(3*n,i+1)-f[i-1][0]*2%mod-f[i-1][1]+3*mod)*inv3%mod;
		f[i][1]=(f[i][0]+f[i-1][0])%mod;
		f[i][2]=(f[i][1]+f[i-1][1])%mod;
	}
	while (m--) {
		read(x);
		printf("%lld\n",(f[x][0]+C(3*n,x)+mod)%mod);
	}
	return 0;
}

Solution2

可以根据生成函数意义，等比数列求和以后大除法算出每项系数。复杂度也是 $O(n)$。