Description
https://www.luogu.com.cn/problem/CF1750F
Solution
好题！我重开了。
如果一个串合法，每个 $0$ 段一定可以从两边的 $1$ 段转移过来。
设 $f_{i,j}$ 表示长度为 $i$ ，合并到不能再合并以后最后一段 $1$ 的长度为 $j$。那么答案为 $f_{n,n}$。
考虑计算 $f_{i,i}$，容斥有 $f_{i,i}=2^{n-2}=\sum\limits_{j<i}f_{i,j}$。
然后计算 $f_{i,j}$，我们钦定最右边的 $j$ ，然后左边接上一段 $0$ 和 $01$
串使得两者不能合并。
$f_{i,j}=f_{j,j}\sum\limits_{k=j+2}^{i-j-1}\sum\limits_{l=1}^{k-j-1} f_{i-k-j,l}$
然后打表或者通过更高妙的方式，发现后面要加的即为满足 $(i-k-j)+l<i-2j$。前缀和优化即可。
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| #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 5005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename T>
#define Ts template<typename T,typename... Ar>
using namespace std;
Tp void read(T &x){
int f=1;x=0;char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
x*=f;
}
namespace Debug{
Tp void _debug(char* f,T t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
Ts void _debug(char* f,T x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
int mod;
int power(int x,int y=mod-2) {
int sum=1;
while (y) {
if (y&1) sum=sum*x%mod;
x=x*x%mod;y>>=1;
}
return sum;
}
int f[maxn][maxn],sum[10005],d[10005];
int n;
void add(int &x,int y) {x=(x+y)%mod;}
signed main(void){
int i,j,k,l,res=1;
read(n);read(mod);
f[1][1]=1;d[2]=1;
for (i=2;i<=n;i++) {
for (j=1;j<=i*2;j++) sum[j]=(sum[j-1]+d[j])%mod;
for (j=1;j<i;j++) {
if (i>=2*j+1) f[i][j]=(sum[i-2*j-1])*f[j][j]%mod;
}
f[i][i]=res;
for (j=1;j<=(i-1)/2;j++) add(f[i][i],mod-f[i][j]);
for (j=1;j<=i;j++) add(d[i+j],f[i][j]);
res=res*2%mod;
}
printf("%lld",f[n][n]);
return 0;
}
|