Description
https://www.luogu.com.cn/problem/CF1750E
Solution
感觉是很棒的算贡献入门题啊！
令 $L$ 为左括号的数量，$R$ 为右括号的数量，$X$ 为匹配的括号数量，
观察一个子串的最小操作数就是 $\max(L,R)-X$。
考虑分别计算 $\sum \max(L,R),\sum X$。
首先计算后面那个，每对匹配的括号对 $a_i,a_j$ 的贡献是 $i\times (n-j+1)$。
然后计算前面那一项，发现 $\sum\max(L,R)=\dfrac{1}{2}\sum L+R+|R-L| $，然后再拆为 $\sum L+R,\sum |R-L|$，发现 $\sum L+R$ 是平凡的，后面一项可以设左括号为 $1$，右括号为 $-1$，每个子串的贡献就是权值和的绝对值。可以用前缀和排序来做。这一步感觉很妙啊！！！
复杂度 $O(n)$。
于是我决定对我的博客加一个入典标签，时刻警醒自己。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
| #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 200005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename T>
#define Ts template<typename T,typename... Ar>
using namespace std;
Tp void read(T &x){
int f=1;x=0;char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
x*=f;
}
namespace Debug{
Tp void _debug(char* f,T t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
Ts void _debug(char* f,T x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=1e9+7;
int power(int x,int y=mod-2) {
int sum=1;
while (y) {
if (y&1) sum=sum*x%mod;
x=x*x%mod;y>>=1;
}
return sum;
}
int n,a[maxn],s[maxn];
int stac[maxn],tot=0;
void solve(void) {
int i;char ch;
read(n);
for (i=0;i<=n;i++) s[i]=0;
for (cin>>ch,i=1;i<=n;i++) a[i]=(ch=='('?1:-1),ch=getchar(),s[i]=s[i-1]+a[i];
int ans=0;tot=0;
for (i=1;i<=n;i++) {
if (a[i]==1) stac[++tot]=i;
else {
if (tot) ans-=(stac[tot]*(n-i+1)),tot--;
}
}
int res=0,sum=0;
sort(s,s+1+n);
for (i=1;i<=n;i++) {
res+=i*(n-i+1);
sum+=s[i-1];
res+=(s[i]*i-sum);
}
printf("%lld\n",ans+res/2);
}
signed main(void){
int T;
read(T);while (T--) solve();
return 0;
}
|