最小斯坦纳树学习笔记

最小斯坦纳树学习笔记

一、模板

https://www.luogu.com.cn/problem/P6192

简化题意:有个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图,给定 $k$ 个关键点,选定一些边满足使这 $k$ 个关键点联通,求最小代价。

$n\le 100,k\le 10$。

观察到 $k$ 很小,考虑直接记下已经联通的关键点的点集的状态 $S$。

观察到答案的子图一定是树,于是我们钦定树根。令 $f_{i,s}$ 表示树根为 $i$,联通了点集为 $s$ 的点集。

考虑从一条树边转移过来,有 $f_{i,s}\gets f_{j,s}+w(j,i)$。

然后自己子树合并,有 $f_{i,s}\gets f_{i,s-t}+f_{i,t}$。

两种转移,第一种可以用最短路。第二种直接枚举子集。

分析复杂度,枚举子集 $O(n3^k)$,最短路 $O(nm2^k)$,瓶颈在枚举子集上。最短路图方便可以 spfa。

最后输出的时候,哪个点都是一样的,可以直接输出任意一个关键点。

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#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 105
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
using namespace std;
void read(int &x){
int f=1;x=0;char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
x*=f;
}
namespace Debug{
Tp void _debug(char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
Ts void _debug(char* f,Ty x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
Tp ostream& operator<<(ostream& os,vector<Ty>& V){os<<"[";for(auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=1e9+7;
int power(int x,int y=mod-2) {
int sum=1;
while (y) {
if (y&1) sum=sum*x%mod;
x=x*x%mod;y>>=1;
}
return sum;
}
int h[maxn],head=1;
int n,m,k,p[maxn];
struct yyy {
int to,z,w;
void add(int x,int y,int val) {
to=y;z=h[x];h[x]=head;w=val;
}
}a[2005];
int f[(1<<10)+5][maxn];
queue<int>q;
void spfa(int id) {
int i,x;
while (!q.empty()) {
x=q.front();q.pop();
for (i=h[x];i;i=a[i].z) if (f[id][a[i].to]>f[id][x]+a[i].w) {
f[id][a[i].to]=f[id][x]+a[i].w;
q.push(a[i].to);
}
}
}
const int inf=1e9;
signed main(void){
int i,x,y,z,s,t;
memset(f,0x3f,sizeof(f));
read(n);read(m);read(k);
for (i=1;i<=m;i++) {
read(x),read(y),read(z);
a[++head].add(x,y,z);
a[++head].add(y,x,z);
}
for (i=1;i<=k;i++) read(p[i]),f[1<<i-1][p[i]]=0;
int N=(1<<k);
for (s=1;s<N;s++) {
for (i=1;i<=n;i++) {
for (t=s&(s-1);t;t=(t-1)&s)
f[s][i]=min(f[s][i],f[t][i]+f[t^s][i]);
if (f[s][i]<inf) q.push(i);
}
spfa(s);
}
printf("%d",f[N-1][p[1]]);
return 0;
}

二、例题

1. bzoj4006 [JLOI2015]管道连接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/4006

观察到如果没有频段的限制,就是最小斯坦纳树。

现在有了这个限制,只需要合并最小斯坦纳树森林。再枚举一下即可。

其中 $sg_i$ 表示频段 $i$ 关键点的集合。

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for (s=1;s<N;s++) {
for (i=1;i<=n;i++) g[s]=min(g[s],f[s][i]);
for (t=1;t<=10;t++) if ((s&sg[t])==sg[t]) {
g[s]=min(g[s],g[sg[t]]+g[s^sg[t]]);
}
}
printf("%d",g[N-1]);