[HNOI2011] 卡农
https://www.luogu.com.cn/problem/P3214
Solution
很经典的题目啊。
其实题目本质上，就是从 $2^n-1$ 个集合中选，有四个限制：
- 无序
- 集合非空
- 每个音阶出现的次数为偶数
- 每个集合不相同
令 $f_i$ 表示选了 $i$ 个集合，满足上面的要求。
首先考虑第三个限制，利用容斥的思想，其实只要随意选 $i-1$ 个集合，就能唯一确定剩下的那个集合使得满足第三个限制。
但是如果要满足无序的话就很烦。考虑把无序转化为有序，不管这个限制，最后除以 $m!$ 。
回到前文，现在我们不保证无序后，选择的集合数量为 $A_{2^n-1}^{i-1}$ 。然后我们还要保证剩下那个集合不是空集。只要前 $i-1$ 个不满足出现的次数为偶数即可，减去 $f_{i-1}$。
回来看还有一个限制，就是每个集合不相同，只可能是前 $i-1$ 个中的一个和第 $i$ 个集合相同。这样子剩下的 $i-2$ 个集合一定满足所有限制，也就是有 $f_{i-2}$ 个，相同的集合从 $i-1$ 里选，有 $2^n-1-(i-2)$ 中可能的取值。
把上面合起来，就是 $f_i=A_{2^n-1}^{i-1}-f_{i-1}-f_{i-2}\times (i-1)\times (2^n-1-(i-2))$。
复杂度 $O(n+m)$。
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| #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 1000005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
using namespace std;
void read(int &x){
int f=1;x=0;char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
x*=f;
}
namespace Debug{
Tp void _debug(char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
Ts void _debug(char* f,Ty x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
Tp ostream& operator<<(ostream& os,vector<Ty>& V){os<<"[";for(auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=1e8+7;
int power(int x,int y=mod-2) {
int sum=1;
while (y) {
if (y&1) sum=sum*x%mod;
x=x*x%mod;y>>=1;
}
return sum;
}
int A[maxn],f[maxn],pw[maxn];
int n,m;
signed main(void){
int i;
read(n);read(m);
for (pw[0]=1,i=1;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%mod;
int res=pw[n]-1;
for (A[0]=1,i=1;i<=m;i++) A[i]=A[i-1]*(res-i+1)%mod;
f[0]=1;
for (i=1;i<=m;i++) {
f[i]=(A[i-1]-f[i-1]-f[i-2]*(i-1)%mod*(pw[n]-i+1+mod)%mod+mod*2)%mod;
}
int tmp=1;for (i=1;i<=m;i++) tmp=tmp*i%mod;
printf("%lld",f[m]*power(tmp)%mod);
return 0;
}
|