P5492 [PKUWC2018] 随机算法

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P5492 [PKUWC2018] 随机算法

Description

https://www.luogu.com.cn/problem/P5492

Solution

令 $f_{s,j}$ 表示点集为 $s$，独立集为 $j$ 的方案数。

考虑刷表，令加入一个点 $x$，且一定不在当前的点集 $s$ 之中。$x$ 相邻且不在点集 $s$ 的点，这些可以在 $x$ 选过以后随意选。

令 $g_s$ 表示点集 $s$ 中点的个数，$to_x$ 表示与 $x$ 相邻的点构成的点集。

有转移：

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f[0][0]=1;
	for (s=0;s<N;s++) {
		for (i=0;i<n;i++) if (((s>>i)&1)==0) {
			for (j=0;j<=g[s];j++) {
				add(f[s|(1<<i)|to[i]][j+1],1ll*f[s][j]*suf[n-g[s]-1]%mod*isuf[n-g[s]-1-g[to[i]-(to[i]&s)]]%mod);
			}	
		} 
	}

复杂度是 $O(2^nn^2)$ ，需要卡卡常。

事实上，一个最大独立集只会从最大独立集转移过来。所以先求出点集 $s$ 的最大独立集 $siz_s$。再进行转移，这样只需要记录 $f_s$ 表示点集 $s$ 构成的最大独立集的方案数。

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#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define maxn
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
using namespace std;
inline void read(int &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,Ty x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	Tp ostream& operator<<(ostream& os,vector<Ty>& V){os<<"[";for(auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
const int mod=998244353;
inline ll power(ll x,int y=mod-2) {
	ll sum=1;
	while (y) {
		if (y&1) sum=sum*x%mod;
		x=x*x%mod;y>>=1;
	}
	return sum;
}
int n,m;
int f[(1<<20)+5],siz[(1<<20)+5];
int to[21],g[(1<<20)+5];
ll suf[21],isuf[21];
inline void add(int &x,ll y) {x=(x+y)%mod;}
signed main(void){
	int i,j,x,y,s;
	read(n);read(m);
	for (i=1;i<=m;i++) {
		read(x),read(y);x--,y--;
		to[x]|=(1<<y);
		to[y]|=(1<<x);
	}
	int N=1<<n;
	for (s=0;s<N;s++) g[s]=__builtin_popcount(s);
	suf[0]=1;for (i=1;i<=n;i++) suf[i]=suf[i-1]*i%mod;
	isuf[n]=power(suf[n]);for (i=n;i>=1;i--) isuf[i-1]=isuf[i]*i%mod;
	for (s=0;s<N;s++) {
		for (i=0;i<n;i++) if (((s>>i)&1)==0) {
			siz[s|(1<<i)|to[i]]=max(siz[s|(1<<i)|to[i]],siz[s]+1);
		}
	}//求出最大独立集
	f[0]=1;
	for (s=0;s<N;s++) {
		for (i=0;i<n;i++) if (((s>>i)&1)==0) {
			if (siz[s|(1<<i)|to[i]]==siz[s]+1)//强制从一个最大独立集转移到另外一个最大独立集
				add(f[s|(1<<i)|to[i]],1ll*f[s]*suf[n-g[s]-1]%mod*isuf[n-g[s]-1-g[to[i]-(to[i]&s)]]%mod);
		} 
	}
	ll is=1;
	for (i=1;i<=n;i++) is=1ll*is*i%mod;is=power(is);
	printf("%lld",1ll*f[N-1]*is%mod);
	return 0;
}

复杂度 $O(2^nn)$，可以稳稳通过。