Bzoj1041

,

Solution

求 $x^2+y^2=r^2$ 的个数。

移项，$y^2=(r-x)(r+x)$

令 $(r-x,r+x)=d$ ，即 $r-x=du,r+x=dv,(u,v)=1$

所以 $y^2=d^2\cdot uv$

而 $(u,v)=1$ ，所以 $u,v$ 分别都为完全平方数。

令 $u=s^2,v=t^2$

所以 $x=\dfrac{t^2-s^2}{2}\cdot d,t=dst,r=\dfrac{t^2+s^2}{2}\cdot d$

枚举 $2r$ 的因数 $d$，再枚举 $s$ 或者 $t$，就可以了。

复杂度应该和杜教筛差不多，大约 $O(n^\frac{3}{4})$

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define maxn
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
using namespace std;
inline void read(int &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,Ty x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	Tp ostream& operator<<(ostream& os,vector<Ty>& V){os<<"[";for(auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
int R,n,ans; 
inline void solve(int d) {
	int now=n/d,i;
	for (i=1;i*i<=now;i++) {
		int sqt=sqrt(now-i*i);
		if (sqt*sqt+i*i==now&&__gcd(i,sqt)==1) {
			if ((sqt*sqt-i*i)%2) continue;//必须是2的倍数
			int x=(sqt*sqt-i*i)/2*d;
			int y=d*i*sqt;
			if (x>0&&y>0&&x*x+y*y==R*R) ans+=2;
		}
	}
}
signed main(void){
	int i,j,k;
	read(R);n=2*R;
	for (i=1;i*i<n;i++)
		if (n%i==0) {
			solve(i);solve(n/i);
		}
	if (i*i==n) solve(i);
	printf("%lld",(ans+1)*4);
	return 0;
}