NOIP2018 摆渡车

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Solution

令 $f_i$ 表示在时刻 $i$ 这里上车，$i$ 之前的所有人都运送的最小等车时间之和。

$cnt_i$ 表示 $i$ 之前所有等车人的个数。

$sum_i$ 表示 $i$ 之前所有等车人的时刻之和。

容易列出转移方程
$$
f_i=\min\limits_{j\le i-m}(f_j+(cnt_i-cnt_j)\times i-(sum_i-sum_j))
$$
出现了 $i$ 项和 $j$ 项之积，考虑斜率优化。

移项，有：
$$
f_j+sum_j=f_i+sum_i-cnt_i\times i+cnt_j\times i
$$
目的是让截距最小，而切线斜率递增，所以考虑用单调队列维护。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 4005005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
using namespace std;
inline void read(int &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,Ty x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	Tp ostream& operator<<(ostream& os,vector<Ty>& V){os<<"[";for(auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
int n,m;
const int inf=1e18;
int t[maxn],q[maxn],head,tail;
int cnt[maxn],sum[maxn],f[maxn];
inline double X(int i) {return cnt[i];}
inline double Y(int i) {return f[i]+sum[i];}
inline double slope1(int i,int j) {
	if (X(i)==X(j)) {
		if (Y(i)<Y(j)) return inf;
		else return -inf;
	}
	return (Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));
}
const int base=4e6+500;
int Ans=inf;
signed main(void){
	int i,qw=0;
	read(n);read(m);
	for (i=1;i<=n;i++) {
		read(t[i]);t[i]++;qw=max(qw,t[i]);
		cnt[t[i]]++;
		sum[t[i]]+=t[i];
	}
	for (i=0;i<=base;i++) cnt[i]+=cnt[i-1],sum[i]+=sum[i-1];
	q[head=tail=1]=0;
	for (i=1;i<=base;i++) {
		if (i>m) {
			while (head<tail&&slope1(q[tail-1],q[tail])>slope1(q[tail],i-m)) tail--;
			if (slope1(q[tail],i-m)<inf) q[++tail]=i-m;
		} 
		while (head<tail&&slope1(q[head],q[head+1])<=i) head++;
		int j=q[head];
		f[i]=f[j]+(cnt[i]-cnt[j])*i-(sum[i]-sum[j]);
	}
	for (i=qw;i<=base;i++) Ans=min(Ans,f[i]);
	printf("%lld",Ans);
	return 0;
}

注意到 $t_i$ 可能有等于 $0$ 的情况。

计算斜率时，如果两个点的横坐标相等，注意特判。

事实上，有效的点数只有 $O(nm)$ 个，所以应该可以做到 $O(nm)$ 的复杂度（？