Bzoj2863

Solution

令有 $i$ 个点的满足要求的图（不连通DAG）的个数为 $F_i$。

考虑容斥，至少有 $i$ 个入度为 $0$ 的点的图的个数为
$$
F_{n-i}\times C_n^i\times 2^{i(n-i)}
$$
则入度为 $0$ 的点有 $0$ 个的图的个数为
$$
\sum\limits_{i=0}^n(-1)^iF_{n-i}\times C_n^i\times 2^{i(n-i)}
$$
又知道，这个数$=0$

于是把 $F_n$ 单独提出来，就有
$$
\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i+1}F_{n-i}\times C_n^i\times 2^{i(n-i)}=F_n
$$

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define maxn 3005
#define put() putchar('\n')
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
using namespace std;
inline void read(int &x){
    int f=1;x=0;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    x*=f;
}
namespace Debug{
	Tp void _debug(char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
	Ts void _debug(char* f,Ty x,Ar... y){while(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
	Tp ostream& operator<<(ostream& os,vector<Ty>& V){os<<"[";for(auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
	#define gdb(...) _debug((char*)#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
const int mod=1e9+7;
int f[maxn],suf[maxn],isuf[maxn],pw[maxn*maxn];
inline int power(int x,int y) {
	int sum=1;
	while (y) {
		if (y&1) sum=sum*x%mod;
		x=x*x%mod;y>>=1;
	}
	return sum;
}
inline int C(int n,int m) {
	return suf[n]*isuf[m]%mod*isuf[n-m]%mod;
}
signed main(void){
//  freopen("1.in","r",stdin);
	int n,i,j;
	read(n);
	f[0]=1;f[1]=1;
	for (suf[0]=1,i=1;i<=n;i++) suf[i]=suf[i-1]*i%mod;
	for (isuf[n]=power(suf[n],mod-2),i=n;i>=1;i--) isuf[i-1]=isuf[i]*i%mod;
	for (pw[0]=1,i=1;i<=n*n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%mod;
	for (i=2;i<=n;i++) {
		for (j=1;j<=i;j++)
			if (j&1) f[i]=(f[i]+f[i-j]*C(i,j)%mod*pw[j*(i-j)]%mod+mod)%mod;
			else f[i]=(f[i]-f[i-j]*C(i,j)%mod*pw[j*(i-j)]%mod+mod)%mod;
	}
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}