CF19E&CF1680F

, ,

Description

给定一个无向图，求所有删去一条边可以使原图变成二分图的边。

$n,m\le 10^6$

Solution

如果这张图本身就是二分图，那么随便删一条边即可。

抛开这种特殊情况，我们可以想到这种边的必要条件：所有奇环的交。

但是考虑一种情况，如果这条边同时在某个偶环上，若删掉这条边，则原来的偶环与包括这条边的奇环除去这条边后依然是一个奇环，$(\text{偶环}-1)+(\text{奇环}-1)=\text{奇环}$。

所以这种边的充要条件为，在所有奇环的交并且不在任意一个偶环上。
于是我们可以在二分图染色的过程中遍历这个无向图，遇到非树边时如果为奇环或者偶环通过类似于树上差分的方式打上标记。

本来树上差分需要带上 $\log $ 求 $lca$ ，但是在 $dfs$ 的过程中所有非树边都是返祖边。于是可以 $O(n+m)$ 解决。

code（CF19E）

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000005
#define ll long long
#define put() putchar('\n')
using namespace std;
inline void read(int &x){
	int f=1;x=0;char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while (c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	x*=f;
}
int head=1,h[maxn];
struct yyy{
	int to,z,flag;
	inline void add(int x,int y) {
		to=y;z=h[x];h[x]=head;flag=0;
	}
}a[maxn*2];
int c[maxn],fa[maxn],cnt[2][maxn];
int n,m,tot,times,dfn[maxn];
inline void dfs(int x,int pre,int color) {
	int i;c[x]=color;dfn[x]=++times;
	for (i=h[x];i;i=a[i].z) 
	    if ((i^1)!=fa[x]) {
	    	if (!c[a[i].to]) fa[a[i].to]=i,a[i].flag=a[i^1].flag=1,dfs(a[i].to,x,3-color);
	    	else if (dfn[a[i].to]<dfn[x]){
	    		if (c[a[i].to]!=c[x]) cnt[0][fa[x]]++,cnt[0][fa[a[i].to]]--,cnt[0][i]++;
	    		else cnt[1][fa[x]]++,cnt[1][fa[a[i].to]]--,cnt[1][i]++,tot++;
			}
		}
}
int vis[maxn];
inline void dfs2(int x,int pre) {
	int i;vis[x]=1;
	for (i=h[x];i;i=a[i].z)
	    if (a[i].to!=pre&&!vis[a[i].to]) {
	    	dfs2(a[i].to,x);
	    	cnt[0][fa[x]]+=cnt[0][i];
	    	cnt[1][fa[x]]+=cnt[1][i];
		}
}
inline bool dfs3(int x,int pre,int color) {
	int i,tmp=0;c[x]=color;
	for (i=h[x];i;i=a[i].z)
	    if (a[i].to!=pre&&a[i].flag==0) {
	    	if (!c[a[i].to]) tmp|=dfs3(a[i].to,x,3-color);
	    	else if (c[a[i].to]==c[x]) tmp=1; 
		}
	return tmp;
}
inline void solve(void) {
	int i,x,y,ans=0;
	read(n);read(m);
	head=1,tot=0;times=0;
	for (i=1;i<=n;i++) h[i]=vis[i]=c[i]=fa[i]=dfn[i]=0;
	for (i=1;i<=2*m+1;i++) cnt[0][i]=cnt[1][i]=0;
	for (i=1;i<=m;i++) {
		read(x);read(y);
		a[++head].add(x,y);
		a[++head].add(y,x);
	}
	for (i=1;i<=n;i++) if (!dfn[i]) dfs(i,0,1);
	for (i=1;i<=n;i++) if (!vis[i]) dfs2(i,0);
	for (i=1;i<=n;i++) c[i]=0;
	int flag=0;
	for (i=2;i<=head;i+=2) cnt[0][i]+=cnt[0][i^1],cnt[1][i]+=cnt[1][i^1];
	if (tot==0) {
		printf("%d\n",m);
		for (i=1;i<=m;i++) printf("%d ",i);
		return;
	}
	for (i=2;i<=head;i+=2) if (!cnt[0][i]&&cnt[1][i]==tot) ans++;
	printf("%d\n",ans);
	for (i=2;i<=head;i+=2) if (!cnt[0][i]&&cnt[1][i]==tot) printf("%d ",i/2);
}
signed main(void){
	solve();
	return 0;
}